內容簡介
本書是根據高等學校經濟類專業微積分課程的教學大綱組織編寫的．本書采用全新的編排方式,注重突出數學課程的循序漸進、由淺入深的特點,具有理論聯系實際、課程緊密結合專業的特色．全書以“注重概念、強化應用、培養技能”為重點,充分體現了“以應用為目的,以實用為標準”的原則．
本書的主要內容有一元函數微積分學、微分方程、多元函數微積分學、無窮級數．為了更好地適應現代經濟數學教學的要求,本書詳細介紹了需求、供給、邊際和彈性等常見的經濟模型,簡要介紹了基尼系數、投資和消費者剩余等重要的經濟模型,在第二、七、九和十一章后配有相應的經濟知識拓展,附錄B和附錄C分別介紹了數學建模和數學軟件MATLAB的內容．本書的各章節還精心配置了例題和習題,便于學生對有關知識的掌握與應用;書末附有部分習題答案．帶∗號內容供學時較多的專業選用．
本書可作為普通高等學校、成人高校及本科院校舉辦的二級學院和民辦高校的教材．
前 言
數學是研究客觀世界數量關系和空間形式的科學,是人類文化和文明的重要組成部分．能否運用數學觀念定量思維是衡量民族科學文化素質的一個重要標志,數學教育在培養高素質科學技術人才中具有其獨特的、不可替代的重要作用．步入２１世紀,學科間的交叉與融合越來越普遍,作為一種定量分析工具,數學方法在經濟、管理的實踐中被大量運用．因此,普通應用型高校經管類各專業對數學課程提出了新的更高的要求,數學教學更加注重培養學生運用數學知識解決經濟問題的能力．針對新形勢下應用型大學數學教育的改革思路以及教育部高等院校應用型人才的培養目標,為了培養優秀的經濟管理類應用型人才,課程組(微分方程應用研究團隊)在國內外專家、學者的指導下,經過多年的調研、考察和教學實踐,充分借鑒國內外最新優秀教材的思想和方法,編寫了適用于經管類各專業學生使用的大學數學教材«經濟數學»(第３版)．通過三年的試用和六年多的使用,課程組不斷改進、充實和完善教材內容,取得了很好的教學效果,較大地提高了大學數學的教學質量．該教材是“全國高等學校大學數學教學研究與發展中心”、山西省教育廳教改課題“大學生數學建模競賽應用能力培養的研究與實踐”和山西省教育科學“十三五”規劃課題“基于應用能力培養的本科院校高等數學教學改革研究”的主要研究成果之一;«經濟數學»教材的第１版和第２版,在２０１０年和２０１２年山西省普通高等學校教學成果獎評選中兩次榮獲二等獎．本書在編寫過程中,以高等學校經管類專業微積分課程的教學大綱為基礎,注重與經管類專業課程的銜接,同時保持了數學學科的科學性和系統性．教材在內容上突出精選夠用,表達上力求通俗易懂,滿足了高等教育實踐性、應用性強的特點．在概念引入、理論分析等環節上注意結合經管類學生的實際,盡可能從學生熟悉的問題入手,進行深入淺出的講解,力求使基本概念、基本定理直觀化、具體化．為了更好地適應高等教育應用型人才的培養,我們結合高校教材最新的發展趨勢,對«經濟數學»第２版進行了全面的修改,并根據經管類學生的實際情況,對教材的許多內容進行了刪、減、增(實用)、細的處理,弱化數學定理的證明,充分注重數學與經濟各學科間的交叉,注重數學在經濟、管理中的應用．本書將數學建模的思想貫穿到大學數學教學中,逐步培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和自學能力,增強學生運用所學知識去分析、解決經濟問題的初步能力,為后繼課程和今后工作打下必要的數學基礎．在編寫過程中,課程組注重教材的基礎性、實踐性、科學性和先進性,突出“三用一新”的特點,即實用、適用、夠用和創新．本書知識體系完整,結構嚴謹,內容精練,循序漸進,推理簡明,通俗易懂．本書在例題和習題的選配上,遵循由易到難的原則,同時輔以歷年研究生入學考試中的經典題型,以滿足不同層次學生的需求,并提供了部分習題的參考答案或提示．與其他經濟數學教材相比,本書還有如下特點．(１)本書在大學數學的體系、內容、方法上進行了改革．將數學和經濟緊密結合在一起,這是以往«經濟數學»教材很少做過的．為此課程組查閱了大量和經濟有關的數學教材,仔細研究了宏觀、微觀經濟學和其他經濟類專業課程的教材,從中找出和微積分密切相關并且具有典型特色的經濟模型和案例．(２)本書將數學建模思想、方法貫穿于整個課程體系之中．我們在很多章節給出了與教材章節內容有關的數學建模案例,又在附錄中對數學建模進行了專門的介紹．通過這種方式,既可以提高讀者在學習過程中的興趣,又可以達到理論聯系實際的目的,對培養讀者的創新意識很有幫助．(３)本書注重培養學生應用所學的數學知識解決數學問題的能力,特別是將數學軟件MATLAB結合具體教學內容進行講授,包括基本使用方法,借助軟件完成公式演算、數值計算、圖形繪制的練習等,其目的是突出對學生建模能力的培養,提高學生的分析能力和運用數學知識解決實際問題的能力．(４)本書將數學文化修養提到了一個新的高度．把數學看成是一種嶄新的文化,是人類如何對待世界的一種新態度和一種新思維．有鑒于此,本書在各章結尾附有與其內容相關的數學文化知識,包括數學史、數學家簡介、數學逸事等內容,使學生真正體會到數學之美,充分展現數學課程的人文教育功能．本書由山西大學商務學院的張杰明教授提出編寫思想、提綱、列出章節目錄,負責全書的策劃、統稿、定稿,并且編寫了第一章、第十章和附錄C;景冰清副教授編寫了第二章;太原工業學院的張晉珠教授編寫了第三章和附錄B;楊晨副教授編寫了第四章;太原學院的尚肖飛副教授編寫了第五章和第七章;趙轉萍老師編寫了第六章和附錄A;張艷桃老師編寫了第八章;李文姿老師編寫了第九章;太原學院的趙登科副教授編寫了第十一章．在編寫過程中,山西大學的郭耀鵬教授、山西財經大學的王譯教授和太原理工大學的張洪斌教授都仔細審閱了本書,并提出許多寶貴的指導意見,使本書增色不少．本書還得到山西大學商務學院的徐仲安教授、楊繼平教授、石生教授的大力支持．由于編者的水平有限,書中的缺點和錯誤在所難免,歡迎廣大專家、同行和讀者批評指正．編 者
目 錄
第一章 函數 ..........................１第一節 集合 ......................１一、集合的概念 ................１二、集合的運算 ................２三、絕對值 ....................３四、區間和鄰域 ................４習題１-１ ......................５第二節 函數的概念、性質和例題 ....６一、函數的概念 ................６二、函數的性質 ................９三、建立函數關系的例題 ........１２習題１-２ ......................１３第三節 反函數、復合函數和初等函數 ..................１４一、反函數 ....................１４二、基本初等函數 ..............１５三、復合函數 ..................２０四、初等函數 ..................２１習題１-３ ......................２１第四節 經濟學中的幾種常用函數 ....２２一、需求函數與供給函數 ........２２二、成本函數、收益函數與利潤函數 ......................２４三、其他經濟函數 ..............２６習題１-４ ......................２７閱讀資料 ..........................２８本章小結 ..........................２９第二章 極限與連續 ..................３１第一節 極限 ......................３１一、數列極限 ..................３１二、函數極限 ..................３５習題２-１ ......................４０第二節 極限的運算 ................４１習題２-２ ......................４５第三節 極限存在準則和兩個重要極限 ..................４５一、極限存在準則 ..............４５二、兩個重要極限 ..............４６習題２-３ ......................５１第四節 無窮小量與無窮大量 ........５２一、無窮小量 ..................５２二、無窮大量 ..................５３三、無窮小量的比較 ............５５習題２-４ ......................５８第五節 連續 ......................５９一、函數連續的概念 ............５９二、函數的間斷點 ..............６１三、連續函數的性質與初等函數的連續性 ..................６３四、閉區間上連續函數的性質 ....６５習題２-５ ......................６８知識拓展 復利、貼現模型 (極限 ) ....６９閱讀資料 ..........................７３本章小結 ..........................７４第三章 導數與微分 ..................７６第一節 導數概念 ..............７６一、導數定義 ..................７６二、幾個基本初等函數的導數公式 ......................８０三、可導與連續的關系 ..........８３習題３-１ ......................８４第二節 導數的運算法則 ............８５一、函數的和、差、積、商的求導法則 ..................８５二、反函數求導法則 ............８８三、復合函數求導法則 ..........９０四、初等函數的求導問題 ........９２習題３-２ ..................９３第三節 高階導數、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數 ..........９５一、高階導數 ..................９５二、隱函數的導數 ..............９８三、由參數方程所確定的函數的導數 ............１００習題３-３ ................１０２第四節 微分 ....................１０３一、微分的定義及幾何意義 ....１０３二、微分的運算法則 ..........１０５三、微分在近似計算中的應用 ..１０８習題３-４ ....................１１１閱讀資料 ........................１１２本章小結 ........................１１４第四章 導數的應用 ..................１１５第一節 微分中值定理 ............１１５一、羅爾定理 ................１１５二、拉格朗日中值定理 ........１１６三、柯西中值定理 ..........１１９習題４-１ ....................１１９第二節 洛必達法則 ..............１１９習題４-２ ....................１２４第三節 函數的單調性與極值 ......１２４一、函數單調性的判別法 ......１２４二、函數極值的判別法 ........１２７三、最大值和最小值的求法 ....１３１習題４-３ ....................１３４第四節 函數圖形的描繪 ..........１３５一、曲線的凹凸性與拐點 ......１３５二、函數圖形的描繪 ..........１３８習題４-４ ....................１４３第五節 導數在經濟分析中的應用 ..１４４一、邊際與邊際分析 ..........１４４二、彈性與彈性分析 ..........１４７習題４-５ ....................１５２閱讀資料 ........................１５６本章小結 ........................１５７第五章 不定積分 ....................１５９第一節 不定積分概述 ............１５９一、原函數與不定積分的概念 ..１５９二、不定積分的幾何意義 ......１６０三、基本積分表 ..............１６１四、不定積分的性質 ..........１６２習題５-１ ....................１６４第二節 換元積分法 ..............１６５一、第一類換元積分法 (湊微分法 ) ..............１６５二、第二類換元積分法 ........１７０習題５-２ ....................１７４第三節 分部積分法 ..............１７６習題５-３ ....................１７８.第四節 有理函數的積分 ..........１７８一、有理真分式化為部分分式之和 ....................１７９二、有理真分式的積分 ........１８０習題５-４ ....................１８１第五節 積分表的使用方法 ........１８１習題５-５ ....................１８２閱讀資料 ........................１８３本章小結 ........................１８４第六章 定積分 ......................１８６第一節 定積分的概念和性質 ......１８６一、定積分的概念 ............１８６二、定積分的性質 ............１９１習題６-１ ....................１９４第二節 微積分基本定理 ..........１９５一、變上限函數及其導數 ......１９５二、牛頓－萊布尼茨公式 ......１９６習題６-２ ....................１９９第三節 定積分的換元積分法和分部積分法 ..............２００一、定積分的換元積分法 ......２００二、定積分的分部積分法 ......２０４習題６-３ ....................２０６第四節 廣義積分 ................２０７一、無窮區間上的廣義積分 ....２０７二、無界函數的廣義積分 ......２１０習題６-４ ....................２１２第五節 定積分的近似計算 ........２１２一、矩形法 ..................２１２二、梯形法 ..................２１３三、拋物線法 ................２１４習題６-５ ....................２１６閱讀資料 ........................２１６本章小結 ........................２１７第七章 定積分的應用 ................２１９第一節 定積分的元素法 ..........２１９第二節 定積分在幾何上的應用 ....２２１一、平面圖形的面積 ..........２２１二、旋轉體的體積 ............２２６習題７-２ ....................２２８第三節 定積分在經濟上的應用 ....２３０一、已知邊際函數求總量的問題 ..................２３０二、投資問題 ................２３１三、國民收入分配問題 ........２３３四、消費者剩余和生產者剩余問題 ....................２３４習題７-３ ....................２３５知識拓展 紅綠燈管理模型 (積分 ) ..２３６閱讀資料 ........................２３８本章小結 ........................２４０第八章 微分方程 ....................２４１第一節 微分方程的概念 ..........２４１一、引例 ....................２４１二、微分方程的基本概念 ......２４２習題８-１ ....................２４５第二節 一階微分方程 ............２４５一、可分離變量的微分方程 ....２４６二、齊次方程 ................２４７三、一階線性微分方程 ........２５０四、微分方程在幾何中的應用 ..２５３習題８-２ ....................２５５第三節 可降階的高階微分方程 ....２５６一、y(n)＝f (x)型的微分方程 ....................２５６二、y″＝f (x,y′)型的微分方程 ....................２５７三、y″＝f ( y,y′)型的微分方程 ....................２５８習題８-３ ....................２５９第四節 二階常系數線性微分方程 ..２６０一、二階常系數齊次線性微分方程 ....................２６０二、二階常系數非齊次線性微分方程 ....................２６４習題８-４ ....................２７０第五節 差分方程 ................２７０一、差分的概念與性質 ........２７０二、差分方程的概念 ..........２７２三、一階常系數線性差分方程 ..２７３習題８-５ ....................２７７第六節 微分方程在經濟中的應用 ..２７８閱讀資料 ........................２８１本章小結 ........................２８３第九章 多元函數微分學 ..............２８６第一節 空間解析幾何簡介 ........２８６一、空間直角坐標系 ..........２８６二、曲面與方程 ..............２８８習題９-１ ....................２９２第二節 多元函數的概念、極限與連續 ....................２９２一、多元函數的概念 ..........２９２二、常見的多元經濟函數 ....２９５三、多元函數的極限與連續 ....２９７習題９-２ ....................３００第三節 偏導數與全微分 ..........３０１一、偏導數的概念 ............３０１二、高階偏導數 ..............３０３三、偏導數的經濟意義 ........３０５四、全微分的概念 ............３０７.五、近似計算 ..............３１１習題９-３ ....................３１１第四節 多元復合函數與隱函數的微分法 ..................３１２一、復合函數的微分法 ........３１３二、隱函數的微分法 ..........３１６習題９-４ ....................３１８第五節 多元函數的極值 ..........３１８一、二元函數的極值 ..........３１８二、最大值與最小值 ..........３２０三、條件極值 ..............３２１四、最小二乘法 ............３２３習題９-５ ....................３２５知識拓展 期權定價模型 (偏微分 ) ..３２５閱讀資料 ........................３２９本章小結 ........................３３１第十章 多元函數積分學 ..............３３３第一節 二重積分 ................３３３一、二重積分的概念 ..........３３３二、二重積分的性質 ..........３３６習題１０-１ ....................３３７第二節 二重積分的計算 ..........３３８一、利用直角坐標系計算二重積分 ....................３３８二、交換累次積分次序計算二重積分 ....................３４５三、利用極坐標計算二重積分 ..................３４６習題１０-２ ....................３５０第三節 二重積分的應用 ..........３５１習題１０-３ ....................３５３閱讀資料 ........................３５３本章小結 ........................３５５第十一章 無窮級數 ..................３５６第一節 數項級數 ................３５６一、數項級數的基本概念 ......３５７二、數項級數的性質 ..........３５９習題１１-１ ....................３６２第二節 數項級數收斂判別法 ......３６２一、正項級數及其比較判別法 ..３６３二、交錯級數 ................３６８三、任意項級數 ..............３６９習題１１-２ ....................３７１第三節 冪級數及其性質 ..........３７２一、冪級數及其收斂性 ........３７３二、冪級數的運算性質 ........３７６習題１１-３ ....................３７８第四節 函數展開成冪級數 ........３７９一、泰勒級數 ................３７９二、函數展開成冪級數 ........３８０三、冪級數在近似計算中的應用 ..................３８４習題１１-４ ....................３８５第五節 級數在經濟中的應用舉例 ..３８６知識拓展 人口預測模型 ..........３８９閱讀資料 ........................３９２本章小結 ........................３９３附錄A 積分表 ......................３９５附錄B 數學建模簡介 ................４０５附錄C 數學軟件MATLAB簡介 ....４２９部分習題參考答案 ....................４４３參考文獻 ........................４６６
