內 容 簡 介本書是高考數學復習備考的參考用書，涉及高中數學的10部分主干知識：函數，數列，三角函數，平面向量，不等式，平面解析幾何，立體幾何，導數，排列、組合與二項式定理，概率統計，每部分除闡述了解題技巧外，還配備了精選的習題。同時配備了高考研究和習題參考答案：“高考研究”對2014年的高考真題做了詳盡的研究；“習題參考答案”給出了各章習題的答案，方便在學習時參考.本書可供廣大高中學生，特別是高中畢業生參考使用，也可作為高中數學教師和教育研究工作者教學與研究高考試題思想方法的工具書.前 言
2014年高考一結束，筆者就在第一時間認真研究了全部高考真題(文理共計37套，其中江蘇文理同卷)：研究它們的解法(自然解法和巧解，一題多解及多題一解)、背景、歸類以及與以前高考題的比較等. 這些對高考試題的研究，對于各層次的高三學生來說，都是高考復習備考的最佳資料，所以筆者欲將這些研究心得匯集成書奉獻給莘莘學子們，希望對你們的數學復習備考有所裨益.
現在市面上的教輔資料可以說是“汗牛充棟”，但筆者為什么還要在這么多的書中再添上一本呢？不是更加加重了你們的學習負擔了嗎？不是的！因為本書有以下獨特之處：
(1)不貪多求全. 本書不是一本系統的高考數學復習備考資料，而是一本高考數學復習備考的重要參考資料，其中的“第11章 高考研究”是筆者對2014年高考真題的詳細研究.
(2)突出主干知識. 本書涉及高中數學的全部主干知識(共10部分)：函數，數列，三角函數，平面向量，不等式，平面解析幾何，立體幾何，導數，排列、組合與二項式定理，概率統計. 每部分除闡述了解題技巧外，還配備了精選的習題，這些習題都是筆者在教學中使用過的，它們不偏不怪，緊跟高考，且創新成分多(所以建議讀者把這些習題當作考試來對待，不可急于看答案).
(3)是最新研究成果. 本書的內容(包括試題)都是筆者的最新研究成果，在筆者以前的書中均沒有公開過.
本書包括11章：前10章是整個高中數學的全部主干知識(共10部分)；第11章“高考研究”對2014年的高考真題作了詳盡的研究，也是本書的精華.
本書適合準備高考復習備考者使用，低年級的高中生也可對本書的內容選擇使用，廣大數學愛好者也可研讀本書的相應內容.
相信它，本書不錯；認真研讀它，定會收獲不少！無論是對數學素養的培養，還是對數學應試.
在本書出版之際，作者還要感謝中科院張景中院士、武漢大學原校長齊明友教授、北師大王世強教授、華中師大毛經中教授、曲阜師大李吉寶教授、廣東連平縣忠信中學嚴文蘭老師、浙江余姚市三中朱世杰老師對作者在初等數學研究方面的指導、勉勵和無私幫助！感謝本書的責任編輯秦甲女士對本書的出版付出了不少心血！感謝養育我成長的爸爸甘武關、媽媽袁秀芬及太太張琳、兒子甘超一對我生活的體貼照料，你們辛苦多多！感謝我近年所教的張陶、陳朝鵬、王金宇、楊昆、王相謀、曹云飛等一大批學生，他們酷愛數學、各科成績優異、評學兼優，一直支持作者的班主任及教學工作！
甘志國
于北京豐臺
目 錄
第1章 函數 1
1.1 談談“定義域優先” 1
1.2 判斷兩個增函數(減函數)圖像的公共點個數時要慎重 2
1.3 關于互為反函數的兩個函數圖像公共點的結論及其應用 5
1.4 勘根定理和介值定理的有趣應用 7
1.5 軸對稱、中心對稱及周期性的關系 9
1.6 當 變化時，曲線 的形狀均相同 10
習題 11
第2章 數列 14
2.1 求數列通項的一種簡潔方法——構造常數列 14
2.2 一類數列的性質及其應用 18
2.3 用裂項法和待定系數法求Sn是通法 21
2.4 應注意由遞推式確定的數列可以是有窮數列 25
2.5 2013年哈佛-麻省理工數學競賽代數測試題第3題與2003年中國普通高考理科壓軸題如出一轍 26
2.6 簡解一道課本題 29
2.7 等差數列各項絕對值的前n項和 30
2.8 你熟悉公式 嗎 32
2.9 改錯位相減法為分組求和法 33
2.10 例談用驗證法求數列通項 34
習題 37
第3章 三角函數 43
3.1 關于輔助角公式的一個定理及其應用 43
3.2 類正弦定理猜想 49
3.3 有理數角度的三角函數值何時是有理數 52
3.4 用課本結論簡解五道三角形的高考題 53
3.5 這兩道高考三角形大題的解答均欠嚴謹 56
習題 60
第4章 平面向量 61
4.1 一類三角形的面積比問題 61
4.2 介紹物理學中的拉米定理在平面向量中的應用 62
4.3 用一個向量等式妙解兩道高考題 65
習題 66
第5章 不等式 67
5.1 用數學歸納法證明均值不等式和柯西不等式 67
5.2 用“穿針引線”法解一般不等式 69
5.2.1 用“穿針引線”法解一元高次不等式 69
5.2.2 一般方程的重根的定義 69
5.2.3 用函數極值的定義簡潔解題 70
5.2.4 解不等式的一種新方法——列表法 71
5.2.5 用“穿針引線”法解一元高次不等式的理由 72
5.2.6 用“穿針引線”法解一般不等式 72
5.3 談一道期末練習題的解法及推廣 73
5.4 關于 的一類不等式 74
5.5 用“線性規劃問題的最優解在邊界上”簡解高考題 76
5.6 兩類新型的“線性規劃”問題 79
習題 84
第6章 平面解析幾何 85
6.1 橢圓參數方程有“誤區”，三角函數定義很簡潔 85
6.2 用直接解一元二次方程來證圓錐曲線的焦點弦性質 88
6.3 是代入直線方程，還是代入拋物線方程 90
6.4 定橢圓的平行弦中的最長者過該橢圓的中心 94
6.5 橢圓內接平行四邊形、矩形、菱形的周長及面積的取值范圍 95
6.5.1 引理 95
6.5.2 橢圓內接平行四邊形、矩形、菱形的周長及面積的取值范圍 95
6.6 介紹橢圓的幾條性質 99
6.7 圓錐曲線的一條性質及其簡證 100
6.8 過定點的動直線的參數方程及其在焦半徑問題中的應用 103
6.8.1 過定點的動直線的參數方程及參數的幾何意義 103
6.8.2 關于圓錐曲線的焦半徑的幾個結論 104
6.9 研究一道直線與圓的高考題 110
6.10 一般式方程下兩直線位置關系的判斷條件 111
6.11 伸縮變換的性質及其應用 113
習題 116
第7章 立體幾何 124
7.1 底面是矩形的四棱錐相對側棱長的平方和相等 124
7.2 例談構造平行六面體解立體幾何題 125
7.3 例談建立空間直角坐標系解立體幾何題 130
7.4 用升維法解三道數學趣題 136
7.5 用余弦定理簡證直線和平面垂直的判定定理 137
習題 138
第8章 導數 144
8.1 糾正關于e的一種流行錯誤 144
8.2 簡解兩道高考題 146
8.3 巧思妙解兩道題 147
8.4 三次函數圖像的對稱中心的一條性質 149
8.5 用函數的隱零點解題 150
8.6 簡解一類“恒成立”高考題 155
8.7 用“函數在區間上的最大(小)值點若不是區間端點就是極大(小)值點”解題 158
8.8 對2013年高考陜西卷壓軸題的研究 160
8.9 例談用求導法解一類求參數取值范圍的高考題 162
8.10 按計算器按出的極限問題 164
8.11 研究2014年高考天津卷理科壓軸題 166
習題 171
第9章 排列、組合與二項式定理 174
9.1 排列組合問題的基本題型及其解法 174
9.1.1 特殊元素和特殊位置優先策略 174
9.1.2 相鄰元素捆綁策略 174
9.1.3 不相鄰問題插空策略 175
9.1.4 定序問題消序處理，也可轉化為占位插空模型來處理 175
9.1.5 多排問題直排策略 176
9.1.6 排列組合混合問題先選后排策略 176
9.1.7 相同元素問題隔板策略 176
9.1.8 平均分組問題除法策略 177
9.1.9 合理分類與分步策略 177
9.1.10 構造模型策略 178
9.1.11 配對問題 179
9.1.12 分解與合成策略 179
9.1.13 化歸策略 180
9.2 由上樓梯問題得到的Fibonacci數列與組合數的聯系 180
習題 182
第10章 概率統計 185
10.1 應重視用枚舉法解題 185
10.2 編擬、解答概率題時均要注意基本事件是等可能事件 188
習題 193
第11章 高考研究 197
2014高考多經典 197
2014年高考的高頻考點——三次函數 205
2014年高考的高頻考點——錯位相減法 212
數列求和的七種基本方法 218
數列通項公式的求法 225
用分離常數法解2014年高考題 232
用分離常數法求解2014年高考四川卷壓軸題 242
2014年高考福建卷第22題的背景及簡解 245
推廣2014年高考湖北卷文科壓軸題的結論 247
比較 與 的大小 249
求ln2的近似值——兼談兩道高考題的解法 251
談談三次曲線的切線問題 254
各種各樣的曲線相切 261
你熟悉導數公式 嗎 266
尷尬的循環論證——從2014年高考北京卷理科第18題談起 268
談談二次曲線上的四點共圓問題 271
推廣2014年高考山東卷文科壓軸題的結論 275
雙曲線 的性質 276
由2014年高考廣東卷解析幾何大題得到的關于圓錐曲線的兩類經典軌跡問題 281
簡介數學黑洞問題 284
商榷2014年高考題中表述欠嚴謹的11道題 287
對于數列問題應強調在實數范圍內求解 292
談4道高考題的題源 293
介紹26道日本高考數學題 300
2014年高考亮題新解 312
習題參考答案 364
